Tensore e' Riemman

Dint'â giometria differenziale, o' tensore e' Riemann è n' oggetto ca' codifica nt'o modo cchiu' completo a' curvatura e' na' variètà riemanniana. O' tensore e' Riemann è nu' tensor e' tipo (1,3) e spesso s'indica (dint'â notazzione cull'indice) c"o simbolo

$R_{jkl}^i.$

Definizzione

Chiammamm M na' variètà differenziabil cu na' connessione. O' tensore e' Riemann è o' campo tensorial R e' tipo (1,3) ca' soddisfa l"uguaglianze

$R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z.$

ppe tutti tterne X,Y,Z e' campi vettorial su M. o' teorem e' Schwarz dice ca' dint'ô spazio euclideo e' dderivate parzial song commutative: chisto fatto nun è o vero dint'a na' variètà cu na' connessione pigliate a caso, e o' tensore e' Riemann è nu modo e tené conto e' chesta cosa. E' primme duje termine dda' formule song infatte propeto e' derivazione commutate applicate a nu' campo Z; a' presenza ddo tierzo termine, ca' fa uso dda parentese e' Lie [,], è necessaria, accussì R adda essere nu' tensore.